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三角数と四角数が同じ数になる場合について考えてみました。

三角数={1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…}

四角数={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,…}

どちらも最初は、1 になります。その後、36 が見つかります。その後、かなり見比べても出てきません。もう無いのか、と思えば、1225。その後は、41616 になります。これには、タルタリアの三角形との関係が見えてきました。

1+2=3

1+2+…+14=15+…+20

1+2+…+84=85+…+119

1+2+…+492=493+…+696

1+2+…+2870=2871+…+4059

⋮

これらの右式の終値から左式の終値を引きます。

3-2 =1

20-14 =6

119-84 =35

696-492 =204

4059-2870 =1189

この値が、四角数のn番目となります。

1² =1 =1

6² =36 =1+2+…+8

35² =1225 =1+2+…+49

204² =41616 =1+2+…288

1189² =1413721 =1+2+…+1681

逆に右式の終値と左式の終値を足すと

3+2 =5

20+14 =34

119+84 =203

696+492 =1188

4059+2870 =6929

１小さい値になります。

そして、三角数＝四角数 が無限にあることが分かりました!

1

6 =1×6

35 =6×6-1

204 =35×6-6

1189 =204×6-35

6930 =1189×6-204

⋮

三角数のm番目は（上記、四角数のn番目を基にします）

m=(-1+√8n²+1 )/2

1 =(-1+√8×1²+1 )/2 =(-1+√9 )/2 =(-1+3)/2

8 =(-1+√8×6²+1 )/2 =(-1+√289 )/2 =(-1+17)/2

49 =(-1+√8×35²+1 )/2 =(-1+√9801 )/2 =(-1+99)/2

⋮

これは２次方程式の解そのものなのですが、平方根の部分は、前回触れた「奇数の平方＝8×三角数+1」なので、整数となります。

m={1,8,49,288,1681,9800,…}={1²,3²-1,7²,17²-1,41²,99²-1,…}

と、四角数、四角数-1、の交互となります。

 m÷n を計算してみましょう

1    ÷1    =1

8    ÷6    =1.333…

49   ÷35   =1.4

288  ÷204  =1.411764706…

1681 ÷1189 =1.413793103…

9800 ÷6930 =1.414141414…

57121 ÷40391 =1.414201183…

332928÷235416=1.414211438…

⋮

と √2 に近づいていきます。これは、1辺が1の正方形の面積＝1辺が√2の直角二等辺三角形の面積、ということです。なので、充分な小数計算ができれば整数値であるmは、

 m =[n･√2] （[] :整数部）

でも求まりはします。

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